Definición de espacio vectorial

Del latín spatium, el espacio puede ser la extensión que contiene la materia existente, la capacidad de un lugar o la parte que ocupa un objeto sensible.

Espacio vectorial

Vectorial, por su parte, es lo perteneciente o relativo a los vectores. Este término, de origen latino, refiere al agente que transporta algo de un lugar a otro o a aquello que permite representar una magnitud física y que se define por un módulo y una dirección u orientación.

La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.

Es importante tener en cuenta que todo espacio vectorial dispone de una base y que todas las bases de un espacio vectorial, a su vez, presentan la misma cardinalidad.

Datos históricos y aplicaciones

Espacio vectorialFue a partir del siglo XVII que los estudiosos comenzaron a caminar hacia la concepción de los espacios vectoriales, con temas tales como las matrices, los sistemas de ecuaciones lineales y la geometría analítica. Este concepto deriva de la geometría afín (estudio de las propiedades de la geometría que no varían con transformaciones afines, tales como las traslaciones o las lineales no singulares), al introducir coordenadas en el espacio tridimensional o el plano.

Cerca del año 1636, Descartes y Fermat (célebres científicos originarios de Francia) establecieron los fundamentos de la geometría analítica, tomando una ecuación con dos variables y vinculando sus soluciones con la determinación de una curva plana. Para conseguir una solución dentro de los límites de la geometría sin necesidad de recurrir a las coordenadas, el matemático checo Bernard Bolzano presentó un siglo y medio más tarde algunas operaciones sobre planos, líneas y puntos que pueden considerarse antecesores de los vectores.

Sin embargo, recién a finales del siglo XIX, Giuseppe Peano, conocido matemático italiano, realizó la primera formulación moderna y axiomática de los espacios vectoriales. Seguidamente, esta teoría se enriqueció de la rama de las matemáticas conocida con el nombre de análisis funcional, más precisamente de los espacios de funciones. Para poder resolver los problemas de análisis funcional que presentaban el fenómeno conocido como límite de una sucesión o convergencia, se asignó a los espacios vectoriales una topología apropiada, para que fuese posible considerar la continuidad y la proximidad.

Cabe mencionar que los vectores como concepto propiamente dicho nacen con el bipoint de Giusto Bellavitis, un segmento orientado que posee un extremo llamado origen y otro, objetivo. Más tarde, fue tomado en cuenta cuando Argand y Hamilton presentaron los números complejos y este último creó los cuaterniones, además de ser quien concibió la denominación de vector. Laguerre, por su parte, fue responsable de la definición de los sistemas de ecuaciones lineales y de la combinación lineal de vectores.

También en la segunda mitad del siglo XIX, un matemático británico llamado Arthur Cayley presentó la notación matricial, gracias a la cual es posible armonizar y simplificar las aplicaciones lineales. Casi cien años más tarde, se produjo una interacción entre el análisis funcional y el álgebra, principalmente con conceptos tan importantes como los espacios de Hilbert y los de funciones p-integrables.

Entre las aplicaciones de los espacios vectoriales se encuentran ciertas funciones de compresión de sonido e imágenes, que se basan en las series de Fourier y otros métodos, y la resolución de ecuaciones en derivadas parciales (relacionar una función matemática con diversas variables independientes y las derivadas parciales de la misma respecto de dichas variables). Por otro lado, sirven para el tratamiento de objetos físicos y geométricos, como ser los tensores.

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Referencias

Autores: Julián Pérez Porto y Ana Gardey. Publicado: 2011. Actualizado: 2014.
Definicion.de: Definición de espacio vectorial (http://definicion.de/espacio-vectorial/)