Las expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y constantes, vinculadas a través de operaciones de multiplicación, resta o suma, reciben el nombre de polinomios. El adjetivo polinómico, por su parte, se aplica a la cantidad o las operaciones que se pueden expresar como polinomios.
Gracias a los polinomios, es posible desarrollar diferentes cálculos y acercarse a una función derivable. Numerosas ciencias utilizan los polinomios en sus estudios e investigaciones, desde la química y la física hasta la economía.
Un polinomio es una expresión algebraica compuesta por la unión de dos o más variables y constantes que se vinculan mediante operaciones de suma, resta o multiplicación.
TemasOperaciones con polinomios
Para realizar la suma o la resta de polinomios, es necesario agrupar los diferentes monomios y simplificar los que resulten semejantes. La multiplicación, por su parte, se desarrolla multiplicando los términos de un polinomio por los términos del otro, simplificando finalmente los monomios que sean semejantes.
Es importante resaltar que los polinomios no son infinitos, es decir, no pueden estar formados por una cantidad infinita de términos. Por otra parte, la división es una operación que nunca forma parte de los polinomios.
Una propiedad de los polinomios es que, al sumarlos, restarlos o multiplicarlos, el resultado siempre será otro polinomio. Cuando el polinomio cuenta con dos términos, se lo denomina binomio. Si tiene tres términos, por otra parte, recibe el nombre de trinomio.
Otro concepto relevante al trabajar con polinomios es la noción de grado. El grado del monomio es el exponente mayor de su variable: el grado del polinomio, por lo tanto, será el grado de su monomio que tenga el valor más alto.
Los polinomios permiten el desarrollo de distintos cálculos.
Un teorema postulado por Taylor
Se conoce con el nombre de polinomio de Taylor a un teorema enunciado en la primera década del siglo XVIII por el matemático Brook Taylor, oriundo de Gran Bretaña, pero descubierto a finales del siglo anterior por un matemático y astrónomo de Escocia llamado James Gregory. Gracias a su utilización en el estudio de una función, es posible dar con aproximaciones polinómicas en un entorno en el cual ésta se pueda diferenciar, además de aprovechar esta estimación para la acotación de errores.
El tipo de entorno usado para la aplicación del polinomio de Taylor es reducido, lo cual significa que se tienen en cuenta una serie de puntos en torno a uno principal, de manera que se pueda contar con un cierto margen pero que éste no sea excesivo. Los coeficientes del polinomio son dependientes de las derivadas de la función (medición de la velocidad con la que un valor cambia cuando se modifica su variable dependiente) en dicho punto.
El método de interpolación polinómica
El método denominado interpolación polinómica, por su parte, sirve para aproximarse a los valores que toma una función determinada, de la cual simplemente conocemos su imagen en una cantidad finita de abscisa (coordenadas cartesianas). Por lo general, solamente se cuenta con los valores que toma para las abscisas (en otras palabras, se desconoce la expresión de la función).
A través de dicho método se pretende encontrar un polinomio que también nos aproxime a otros valores que no resultan conocidos con un nivel de precisión en particular, para lo cual existe la fórmula del error de interpolación, que sirve para realizar el ajuste de la precisión.
Otros conceptos importantes
El término polinomio primitivo responde a dos conceptos: un polinomio de una estructura algebraica (denominada dominio de factorización única) en la cual todos sus elementos sólo pueden descomponerse como producto de elementos primos, de manera que sus coeficientes tengan 1 como su máximo común divisor; para una extensión de cuerpos, el polinomio mínimo de uno de sus elementos primitivos.
Esto nos lleva al concepto de polinomio mínimo que, en matemáticas, hace referencia al polinomio normalizado (cuyo coeficiente principal sea 1) de menor grado de manera que su resultado sea 0.
