Cada número irracional tiene un componente decimal infinito y no periódico.
Los números irracionales son, junto a los números racionales, parte del conjunto de los números reales. Un número irracional no puede representarse como una fracción exacta de un par de números enteros, sino que se expresa con cifras decimales no periódicas. Es oportuno remarcar que estos decimales de valor infinito no se repiten de manera cíclica.
Este número real que no es posible escribir como fracción de números enteros tiene particularidades que conviene conocer para saber ubicarlo en la recta real y diferenciarlo de otros tipos de números. También es útil aprender cómo aproximar números irracionales y entender para qué sirven.
Por esa razón, a lo largo de este artículo ofreceremos ejemplos de números irracionales, detallaremos sus características y aplicaciones y haremos un breve repaso de la historia de la matemática a fin de explicar cuándo y cómo se descubrió esta clase de número fundamental para muchas actividades y disciplinas que requieren exactitud.
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ResumenDescubrimiento de los números irracionales
El descubrimiento de los números irracionales sucedió en la Antigua Grecia. Desde la perspectiva de los pitagóricos, en el universo de los números era todo conmensurable. Es decir, las mediciones y cálculos se resolvían con números enteros o cocientes (razones) de enteros. Pero al trabajar con un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos tenían 1 de longitud se intentó aplicar el Teorema de Pitágoras para medir la diagonal y el resultado impactó. Surgió en ese marco el carácter de inconmensurable de números definidos como “sin razón” (de allí viene el concepto de irracional), los cuales no pueden ser expresados como fracción de dos enteros, presentando una expansión decimal no periódica e infinita.
Al investigar e intentar reconstruir la historia de los números irracionales adquiere relevancia la figura de Hipaso de Metaponto, señalado en algunos registros (aunque no hay documentación fehaciente y directa para respaldar el dato) como el discípulo de Pitágoras que confirmó y demostró la existencia de los números irracionales. Este hallazgo marcó un antes y un después en el ámbito de las matemáticas.
Aplicaciones e importancia
Además de conocer cuándo se descubrieron los números irracionales es valioso saber qué aplicaciones prácticas tienen estas cifras. En los párrafos siguientes, por lo tanto, detallaremos para qué sirven los números irracionales mencionando su alcance y aprovechamiento.
Los números irracionales en la vida cotidiana y en diferentes actividades profesionales son fundamentales. Están presentes en los campos del diseño, la física, la ingeniería y las matemáticas aplicadas, por ejemplo, por describir con gran precisión ciertos fenómenos.
El patrón matemático y la proporción áurea de la espiral de Fibonacci se relacionan con los números irracionales.
El número irracional aparece al trabajar con figuras cilíndricas o circulares (como relojes, neumáticos, tanques de agua, ollas, domos, etc) a fin de calcular volúmenes, áreas y circunferencias.
Expertos en arquitectura y construcción, por su parte, se valen de los números irracionales al calcular alturas y distancias en estructuras tipo torres, puentes y techos a dos aguas.
Hay modelados en medicina, así como cálculos orbitales y algoritmos en criptografía, en los cuales también hay números irracionales. En la naturaleza y toda obra de arte concebida como perfecta o divina, por añadir otra referencia, se advierte una proporción matemática de tipo irracional conocida como número áureo que da cuenta de un armónico equilibrio entre un par de segmentos.
Cada número irracional es necesario y trascendental porque ofrece precisión y tiene relevancia en múltiples planos. En concreto: gracias a estas cifras la recta real no muestra discontinuidades y es posible hacer cálculos de geometría vinculados a figuras curvas, orbitales y circulares, por citar datos que demuestran la importancia de los números irracionales.
Ejemplos de números irracionales
Los ejemplos de números irracionales, que junto a los números racionales conforman el conjunto de los reales, abundan en la práctica.
El número irracional más conocido es π (pi), cifra que no puede representarse como número racional porque posee decimales infinitos. El valor aproximado de π es 3.14159265. El número π sirve para calcular la frecuencia propia de ondas de radio, luz y sonido; aparece en equipos de resonancia magnética; en aeronáutica y tecnología GPS permite cálculos de órbitas y trayectorias; en diseño y construcción de estructuras curvas, etc.
Otro número irracional clásico es la raíz cuadrada de 2 (√2). Fue descubierto por los pitagóricos, transformándose en el primer número reconocido como irracional. Su valor se estima en 1.41421356… Corresponde, teorema de Pitágoras mediante, a la diagonal del cuadrado de lado 1.
La constante matemática π, indican los expertos en geometría euclidiana, permite representar en un círculo perfecto la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
También es irracional e (número de Euler). Esta constante matemática trascendental que se caracteriza por su irracionalidad es equivalente a 2.718281828… El número de Euler es fundamental en ciencias y matemáticas. Sirve para el modelado del crecimiento y decrecimiento continuos, es clave para la función exponencial natural (eˣ) y es la esencia del logaritmo natural.
Como ejemplo de número irracional también conviene citar al número áureo, cuyo valor se calcula en 1.61803398874… En el entorno natural, el número áureo parece reflejarse en las proporciones de girasoles y espirales de los caracoles, etc. Artísticamente, el número áureo ha sido determinante para pinturas renacentistas y, en la era moderna, para la composición de fotografías, entre otras aplicaciones.
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