El teorema fundamental del cálculo simplificó la determinación del área bajo la curva.
El teorema fundamental del cálculo es una proposición que indica que la derivación y la integración de una función matemática son operaciones inversas bajo ciertas condiciones. Su afirmación permite relacionar ambos conceptos, facilitando el cálculo de áreas bajo curvas.
En los tiempos precedentes a la presentación del teorema, no se había establecido de forma general que la derivación y la integración estaban vinculadas. Su gran aporte fue demostrar que dos procedimientos que parecen diferentes se encuentran unidos ya que, cuando se cumplen determinadas condiciones, son inversos entre sí. El desarrollo y la demostración del teorema fundamental del cálculo se llevaron a cabo a lo largo del siglo XVII, con importantes aportes de matemáticos como James Gregory, Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz.
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ResumenIntroducción
Para comprender de manera precisa el teorema fundamental del cálculo resulta imprescindible tener en claro varios términos. Lo primero que debe considerarse es que un teorema es un enunciado que puede demostrarse lógicamente a partir de postulados o axiomas. En este caso, el teorema está vinculado al cálculo (un cómputo o cuenta que se realiza mediante operaciones matemáticas).
Otro punto central es la idea de función matemática. La noción alude a la relación existente entre dos conjuntos, la cual consiste en asignar a cada elemento del primer conjunto un único elemento del segundo.
Retomando específicamente el teorema fundamental del cálculo, en concreto establece que, bajo determinadas condiciones, la derivación y la integración de una función resultan inversas. Se denomina derivada a la razón de cambio con la que se modifica el valor de la función cuando hay una variación del valor de su variable independiente. La integral, en tanto, está asociada al cálculo del área bajo una curva cuando la función no es negativa y se cumplen ciertas condiciones.
El teorema fundamental del cálculo construyó un puente entre la derivación y la integración, cuando la relación entre ambas aún no había sido determinada. El vínculo que demostró es que estas operaciones pueden ser inversas entre sí.
La proposición consta de dos partes. La primera sostiene que, bajo ciertas condiciones, es posible recuperar la función que se está integrando cuando se deriva una función definida a través de una integral. La segunda, que suele mencionarse como regla de Barrow, permite llevar a cabo el cálculo de una integral definida a partir de una antiderivada de la función.
La ingeniería, la física y otras ciencias suelen recurrir al teorema fundamental del cálculo.
Importancia del teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo es muy importante en el análisis matemático. Permitió unir el cálculo integral y el cálculo diferencial al demostrar que operaciones que aparentaban ser distintas (integración y derivación) mantenían un vínculo estrecho.
Antes, el cálculo de áreas bajo curvas resultaba muy complejo y solía requerir procedimientos laboriosos. El teorema fundamental del cálculo se estableció como un método práctico para dicho cálculo, evidenciando que hay una conexión entre encontrar pendientes (derivar) y calcular áreas (integrar).
De este modo, se logró determinar que calcular áreas geométricas y tasas de cambio eran, bajo algunas condiciones, operaciones vinculadas entre sí. Por lo tanto, unió el análisis diferencial y el análisis integral y simplificó los cálculos.
En la práctica, el teorema fundamental del cálculo hace posible determinar la acumulación de una magnitud a lo largo del tiempo a través de la integración, con aplicaciones en el estudio del crecimiento demográfico, la aceleración y la corriente eléctrica, por mencionar algunos ejemplos.
El teorema fundamental del cálculo permitió vincular, bajo ciertas condiciones, el cálculo de un área geométrica y una tasa de cambio.
Ejemplos de aplicación
En el ámbito de la economía, el teorema fundamental del cálculo puede usarse para conocer cuál es el costo total de incrementar la producción. Supongamos que un fabricante textil produce 1.000 pantalones por mes y busca saber cuánto le costaría duplicar lo producido (es decir, llegar a 2.000 unidades mensuales).
En este marco, se debe considerar:
Función de costo marginal: C»(q) = 3q + 50
Producción inicial (a): 1.000 pantalones
Producción final (b): 2.000 pantalones
Para conocer el costo adicional que se acumula al incrementar la producción de 1.000 a 2.000 pantalones, se debe integrar la función de costo marginal C»(q):
Integral de (3q + 50) dq desde q = 1.000 hasta q = 2.000
Luego, hay que buscar una antiderivada de la función de costo marginal, que puede representarse mediante C(q):
C(q) = ∫(3q + 50) dq
C(q) = (3/2) * q^2 + 50q
C(q) = 1,5 * q^2 + 50q
Siguiendo con el teorema fundamental de cálculo, es necesario evaluar los límites: C(b) – C(a).
Evaluación en el límite superior (q = 2.000):
C(2.000) = 1,5 * (2.000)^2 + 50 * (2.000)
C(2.000) = 1,5 * 4.000.000 + 100.000
C(2.000) = 6.000.000 + 100.000
C(2.000) = 6.100.000
Evaluación en el límite inferior (q = 1.000):
C(1.000) = 1,5 * (1.000)^2 + 50 * (1.000)
C(1.000) = 1,5 * 1.000.000 + 50.000
C(1.000) = 1.500.000 + 50.000
C(1.000) = 1.550.000
Finalmente, se procede al cálculo del costo adicional:
Costo adicional = C(2.000) – C(1.000)
Costo adicional = 6.100.000 – 1.550.000
Costo adicional = 4.550.000
Por lo tanto, tras la aplicación del teorema fundamental del cálculo, el fabricante de pantalones establece que el costo adicional de aumentar la producción mensual de 1.000 a 2.000 unidades es de $4.550.000.
Veamos otro ejemplo de aplicación del teorema fundamental del cálculo. En este caso, en un laboratorio con científicos que se encuentran estudiando el crecimiento de una colonia bacteriana.
Los expertos consideran la siguiente tasa de reproducción de las bacterias:
r(t) = 80 * e^(0,2 * t) [bacterias/hora]
Y quieren determinar con precisión cuántas bacterias nacieron en las primeras 10 horas del ensayo:
Tiempo inicial (a): t = 0 horas
Tiempo final (b): t = 10 horas
Para conocer esa cantidad, por lo tanto, hay que integrar la tasa de crecimiento r(t) de t = 0 a t = 10:
Integral de (80 * e^(0,2 * t)) dt desde t = 0 hasta t = 10
El siguiente paso es hallar la antiderivada: la función de acumulación N(t).
N(t) = ∫ (80 * e^(0,2 * t)) dt
N(t) = (80 / 0,2) * e^(0,2 * t)
N(t) = 400 * e^(0,2 * t)
El procedimiento sigue con la evaluación de los límites:
Evaluación en el límite superior (t = 10):
N(10) = 400 * e^(0,2 * 10)
N(10) = 400 * e^(2)
N(10) = 400 * 7,389056
N(10) = 2.955,62
Evaluación en el límite inferior (t = 0):
N(0) = 400 * e^(0,2 * 0)
N(0) = 400 * e^(0)
N(0) = 400 * 1
N(0) = 400
Por último, hay que establecer el total que se acumuló:
Cantidad de bacterias nacidas = N(10) – N(0)
Cantidad de bacterias nacidas = 2.955,62 – 400
Cantidad de bacterias nacidas = 2.555,62
Por lo tanto, en las primeras 10 horas del experimento en el laboratorio, nacieron aproximadamente 2.556 bacterias.
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