La factorización supone descomponer una expresión algebraica en factores para posibilitar su presentación de una forma más simple.
Factorización es un término que se emplea en el terreno de las matemáticas para aludir al acto y el resultado de factorizar. Este verbo (factorizar), en tanto, refiere a la descomposición de un polinomio en el producto de otros polinomios de grado inferior o a la expresión de un número entero a partir del producto de sus divisiones.
Puede decirse que la factorización permite descomponer una expresión algebraica en factores para presentarla de una manera más simple. Cabe destacar que los factores son expresiones que se someten a una multiplicación para la obtención de un producto.
TemasFactorización de números enteros
Tomemos el caso de la factorización de números enteros. Este proceso implica la descomposición de los números compuestos en divisores que, al ser multiplicados, posibilitan obtener el número en cuestión.
De acuerdo al teorema de factorización única, también conocido como teorema fundamental de la aritmética, un número entero positivo solamente puede descomponerse de una forma en números primos. Se llama número primo, por otra parte, al número natural que es mayor que 1 y que solamente cuenta con dos divisores naturales: el 1 y él mismo.
Veamos el caso del número 81:
81 / 3
27 / 3
9 / 3
3 / 3
1
La factorización de 81 en números primos, de este modo, es 3 elevado a 4 (3 x 3 x 3 x 3).
Retomando la definición del teorema fundamental de la aritmética, debemos entender que se aplica a todos los números enteros mayores que 1, o sea positivos. Señala que en este grupo solamente podemos encontrar números primos o productos únicos de números primos, o sea que esta segunda posibilidad es fija para cada caso. Dado que en el caso de la multiplicación contamos con la propiedad conmutativa, según la cual el orden de los factores no afecta el producto, podemos alterar la secuencia de los números primos resultantes de la factorización.
La factorización de polinomios se lleva a cabo recurriendo a coeficientes.
Operación con polinomios
También puede hablarse de factorización de polinomios. En este caso, se factorizan polinomios apelando a coeficientes en un cierto campo o dominio. Estos cálculos suelen llevarse a cabo con sistemas de álgebra computacional. La factorización de matrices, por último, refiere a la descomposición de una matriz como el producto de al menos dos matrices.
Veamos algunos de los conceptos expresados en el párrafo anterior con mayor atención. Un campo, en este contexto, es un sistema algebraico en el que se pueden llevar a cabo las operaciones de suma y multiplicación respetando las propiedades conmutativa, distributiva y asociativa de la segunda respecto de la primera. También admite el inverso aditivo, el inverso multiplicativo y dos elementos neutros que abren las puertas a la sustracción y la división (esta última no puede hacerse por cero).
Con respecto al sistema de álgebra computacional, para la cual este tipo de factorización representa una de las herramientas más importantes, se trata de un programa ejecutado por un procesador que permite hacer cálculos de manera simbólica. Se diferencia de una calculadora tradicional en que permite la resolución de fórmulas y ecuaciones de manera simbólica en lugar de numérica. Esto quiere decir que puede interpretar las variables como tales en lugar de aceptar únicamente números.
Desarrollo histórico de la factorización de polinomios
La factorización de polinomios tiene una historia extensa. Nos remonta al año 1793, cuando el científico Hermann Schubert realizó la primera descripción de un algoritmo diseñado con este propósito. Casi un siglo después, en 1882, Leopold Kronecker continuó trabajando en la propuesta de Schubert y la expandió para incluir los polinomios multivariados y con coeficientes.
A pesar de todo esto, el mayor volumen de descubrimientos y teorías en torno a este tipo de factorización surgió en la segunda mitad del siglo XX. A grandes rasgos, podemos mencionar dos grupos de métodos para calcular la factorización polinómica: los clásicos (obtención de factores lineales y el método de Kronecker); los modernos (el algoritmo LLL y el método de Trager).
