Punto de inflexión histórico, punto de inflexión económico y punto de inflexión matemático son ejemplos del amplio y diverso alcance o aplicación del concepto.
Punto de inflexión es un concepto que se emplea a nivel general para aludir a una instancia bisagra o momento decisivo en una situación o experiencia. La expresión, sin embargo, tiene una aplicación concreta en el ámbito matemático. En el diccionario de la Real Academia Española (RAE) se menciona que, en el campo de la geometría, la inflexión es el punto en el cual una curvatura varía su sentido.
Los puntos de inflexión se usan en modelados biológicos, trabajos de ingeniería y física, en climatología, análisis de funciones y estudios de tendencias, por ejemplo.
Al tratarse de una noción de alcance amplio y diverso es conveniente saber, específicamente, qué es punto de inflexión en matemáticas, qué tipos de puntos de inflexión existen, cómo calcularlos y de qué modo diferenciarlos y hallarlos a fin de minimizar errores y confusiones. Por esa razón, en este artículo compartimos información clara y útil para conocer en profundidad la definición de punto de inflexión, entender cómo identificarlo y hallar los puntos de inflexión en una función.
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ResumenTipos de punto de inflexión
Existen diversos tipos de punto de inflexión. La teoría indica que, en una función, el punto de inflexión es aquel que en la gráfica se reconoce por su cambio de concavidad.
Observar la dirección de la variación de la curvatura permite reconocer, por ejemplo, al punto de inflexión cóncavo-convexo. En este caso, la función cóncava pasa a ser convexa. El punto de inflexión convexo-cóncavo, por su parte, corresponde al cambio contrario: la función pasa de convexa a cóncava.
De tener en cuenta el orden que presenta la derivada que se anula, en cambio, la clasificación engloba a dos posibilidades: el punto de inflexión de orden impar (como las funciones cúbicas) y el punto de inflexión de orden par (considerado como un falso punto de inflexión y caracterizado por una derivada no nula que tiene un orden par y hay una curvatura aplanada, sin cambios en la concavidad).
Es posible trabajar también con el punto de inflexión con tangente horizontal. Ese se produce en casos en los cuales tanto la primera derivada como la segunda es cero.
En matemáticas, el punto de inflexión determina el cambio de concavidad.
Aplicaciones específicas y cotidianas
¿Qué aplicaciones tiene el punto de inflexión por fuera de las matemáticas? Muchas y relacionadas tanto a cuestiones de la vida diaria como a interpretaciones, tareas y recursos de disciplinas específicas.
Entendido como un antes y un después o un momento clave en la realidad de alguien, el punto de inflexión en la vida cotidiana puede ser un accidente, una experiencia vinculada a la esfera laboral (conseguir un ascenso en el trabajo o recibir un telegrama de despido) o una decisión personal (formar una familia, separarse, mudarse, etc).
El punto de inflexión se reconoce, por otra parte, en los modelos de crecimiento que se utilizan en medicina, demografía, biología o economía para analizar una situación concreta (la curva de crecimiento de contagios de una enfermedad o la curva de evolución de las ventas de un producto introducido al mercado, la curva de crecimiento poblacional, etc).
El punto de inflexión en física y en ingeniería, en tanto, se observa al estudiar cambios de aceleración en las trayectorias de un objeto o en el cambio de curvatura al analizar la deformación en materiales. En machine learning y análisis de datos, por citar otras aplicaciones del punto de inflexión, se distinguen en curvas de aprendizaje de modelos y en estudios de comportamiento de usuarios.
En el ámbito de los negocios, los puntos de inflexión nacen de decisiones estratégicas y cambios disruptivos, generando crecimiento, transformaciones profundas o el declive/cierre de un proyecto.
Errores al buscar puntos de inflexión
Para, en una función, hallar puntos de inflexión se debe, en primer término, calcular las derivadas. Después hay que localizar la segunda derivada e igualarla a cero para, más tarde, determinar los valores posibles de x. Es necesario, asimismo, verificar dónde cambia de signo la concavidad y calcular la coordenada y. Pero no se debe pasar por alto que comúnmente surgen errores al buscar puntos de inflexión.
El error más usual al localizar el punto de inflexión en una función es no comprobar si cambia realmente el signo correspondiente a la segunda derivada. Con frecuencia se olvida, de igual manera, identificar los puntos en los cuales está indefinida la segunda derivada.
La confusión entre punto de inflexión y punto crítico es otro de los errores más habituales al buscar puntos de inflexión. Por ello es conveniente recordar que los máximos y mínimos no necesariamente marcan un cambio de concavidad (punto crítico y punto de inflexión no son sinónimos, no significan lo mismo).
Fallar al hacer la prueba del signo por no proceder correctamente al analizar los intervalos es otro problema frecuente, al igual que la dificultad o imposibilidad de distinguir adecuadamente la concavidad (en cálculo diferencial es común que se aluda a la expresión cóncava hacia arriba o hacia abajo) frente a la convexidad.
Cuando de calcular la segunda derivada se trata, en tanto, suelen cometerse errores algebraicos que complican el reconocimiento del punto de inflexión.
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