El polinomio, una expresión algebraica que sirve para definir una función polinómica, es una herramienta matemática con aplicaciones prácticas muy concretas.
Función polinómica es un concepto matemático muy presente en la vida moderna. Es una herramienta útil que se aprende y estudia en el nivel secundario, siendo la base de muchos cálculos y un pilar fundamental del álgebra. Puede aprovecharse para, por ejemplo, generar movimientos realistas en videojuegos o diseñar curvas o rampas de una montaña rusa.
Se trata de una función matemática que se expresa mediante un polinomio. La función polinómica está compuesta por la suma o la resta de un número finito de términos algebraicos: cada uno es resultado de un coeficiente real y la variable (identificada con la letra x) elevada a una potencia entera (o exponente) no negativa.
Las funciones definidas por un polinomio presentan características que conviene conocer para facilitar cálculos, implementarlas en el modelado de fenómenos reales y predecir su comportamiento gráfico. En este artículo profundizaremos en polinomios, tipos de funciones polinómicas, propiedades principales y aplicaciones de esta clase de estructuras.
TemasOperaciones con funciones polinómicas
Las principales operaciones con funciones polinómicas son cuatro: suma, resta, multiplicación y división. Hay una quinta opción sustancial que, en su caso, no transforma la naturaleza de estas funciones: la composición (el proceso de aplicar una función dentro de otra). Antes de detallar cada una es conveniente señalar que toda función polinómica tiene como dominio el conjunto de los números reales.
En ellas rigen las mismas reglas algebraicas que en un polinomio tradicional. Se transfieren, además, todas las propiedades algebraicas: en suma y multiplicación de funciones polinómicas hay conmutatividad y la propiedad distributiva es muy importante para multiplicar polinomios o pasar al formato estándar una función polinómica factorizada. Según cuál sea la operación a realizar, se puede aplicar la propiedad asociativa. La fórmula de asociatividad en sumas es (f + g) + h = f + (g + h) y la fórmula para multiplicar funciones utilizando la propiedad asociativa es (f ⋅ g) ⋅ h = f ⋅ (g ⋅ h). También es asociativa (pero no conmutativa) la composición de funciones.
Es posible sumar término a término los coeficientes, siendo correcto el resultado en la expresión y en la función que representan. Se agrupan los términos con mismo exponente y variable (es decir, los términos semejantes) y se suman. Ejemplo sencillo de suma:
f (x) + g (x)
f (x) = 2x + 3
g (x) = x + 5
(2x + 3) + (x + 5)
2x + x = 3x
3 + 5 = 8
Resultado: 3x + 8
En el caso de la sustracción, a la primera función se le resta la segunda, agrupando tanto a las cifras acompañadas por x como a los números que se presentan solos. Importante: si delante de un paréntesis hay un signo menos, se modifica por su opuesto el signo de todo lo que está dentro del paréntesis. Además, es necesario agrupar los términos semejantes (aquellos que tienen x por un lado, los números solos por otro).
Ejemplo de resta:
f (x) – g (x)
f (x) = 4x + 7
g (x) = 2x + 1
(4x + 7) – (2x + 1)
4x + 7 – 2x – 1
4x – 2x = 2x
7 – 1 = 6
Resultado: 2x + 6
El resultado de sumar o restar funciones polinómicas es otra función polinómica cuyo grado no supera nunca al grado más alto del polinomio original (puede ser menor o igual a él, pero nunca mayor).
Al multiplicar, es suficiente con multiplicar las expresiones: la función (f⋅g) (x) = f (x) ⋅ g(x) es coincidente con la función que se asocia al producto de polinomios p ⋅ q. Al multiplicar un par de polinomios no nulos, el resultado muestra un grado exactamente igual a la suma de los grados de cada polinomio. Si el resultado de la multiplicación es un polinomio cero (función nula), entonces por lo menos una de las funciones polinómicas es el polinomio cero: es imposible una función cero como producto si los polinomios son distintos a cero.
La división de funciones polinómicas no siempre origina otra función polinómica. Al dividir un polinomio por otro, siempre que no sea cero, se aplica el algoritmo de la división y se obtienen un cociente y un resto (cuyo grado es menor que el grado del divisor). Cuando el resto es igual a cero se logra una función polinómica.
La calculadora es una herramienta útil para aproximar raíces, obtener valores decimales y verificar gráficas de las funciones polinómicas.
Clasificación según el grado
Las funciones polinómicas se pueden clasificar según el grado que presenten. La definición indica que el grado de una función polinómica es el exponente más alto que la variable tiene (siempre y cuando no sea cero el coeficiente del término).
Se reconocen las siguientes funciones de acuerdo al grado:
- Función constante
- Función lineal o función afín
- Función cuadrática
- Función cúbica
- Funciones de grado cuatro y superiores
La función polinómica constante presenta grado 0 y es una función par. Su fórmula es f (x) = a (a ≠ 0). Hay que tener en cuenta que, en ocasiones, se considera a la función nula como un caso especial de grado indeterminado o indefinido.
La función lineal o afín tiene grado 1. Se la representa de forma estándar como f (x) = ax + b (es indispensable la condición a ≠ 0). Si bien a veces se utilizan estas denominaciones de manera indistinta, se prefiere el concepto de lineal en el caso de b = 0 (en la gráfica, la línea recta pasa por el origen de las coordenadas) y afín si b ≠ 0 (no pasa la línea recta por el origen).
La función cuadrática presenta grado 2. Se la expresa así: f (x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Su gráfica es una parábola; posee un único vértice (mínimo o máximo); es simétrica en cuanto al eje de simetría vertical y puede tener entre cero y hasta dos raíces reales.
La función polinómica que tiene grado 3 se define como cúbica. Se expresa como f (x) = ax³ + bx² + cx + d. Su representación gráfica es una curva, con uno o dos cambios de dirección, que posee apariencia de letra S. Hay en ella por lo menos un punto de inflexión y una raíz real (o más).
Además de ellas, y de muchas otras, existe la función cuártica o de grado 4: f (x) = a x⁴ + b x³ + c x² + dx + e. Su gráfica es una curva compleja con hasta tres modificaciones de dirección, mientras que la derivada admite hasta la misma cantidad de puntos críticos. Aunque no siempre posee raíces reales, puede llegar a tener hasta cuatro.
En el diseño de una montaña rusa o un puente con muchas curvas y desniveles, las funciones polinómicas sirven para modelar con precisión subidas, bajadas y cambios de pendiente.
Aplicaciones de las funciones polinómicas
Las aplicaciones de las funciones polinómicas no se limitan a cálculos de matemáticas. Están presentes en numerosas disciplinas y situaciones de la vida cotidiana. Por eso es interesante y necesario saber para qué sirven las funciones polinómicas más allá de las aulas.
Quienes se dedican a la física, por ejemplo, las aprovechan para describir la caída libre y el movimiento de proyectiles, mientras que en el ámbito de la economía sirven para predecir, modelar y analizar variables como ingresos, beneficios y costos.
Dado que es un recurso versátil, se adapta incluso a los campos de la estadística, la arquitectura y la ingeniería. Simplifican, además, cálculos dentro del hogar, permitiéndole a las familias estimar gastos vinculados al consumo y uso de servicios básicos como el gas y la luz. La función polinómica, sin dudas, es una herramienta matemática útil y práctica que facilita una amplia variedad de tareas en el mundo real.
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