La función lineal puede usarse para calcular costos.
Una función lineal es una función matemática que se define por un polinomio de primer grado. Para comprender el concepto, resulta imprescindible tener en claro el significado de varios términos.
La noción de función tiene diversos usos. En esta ocasión, nos vamos a centrar en la función matemática: la relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna solo un elemento del segundo conjunto.
Se denomina polinomio a la expresión matemática que se compone de uno o más monomios unidos mediante sumas o restas. Los monomios son términos formados por números y letras que tienen exponentes enteros no negativos. Entre esos términos aparecen las variables: magnitudes que, en el marco de un cierto conjunto, pueden adoptar cualquiera de los valores posibles.
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ResumenCaracterísticas de la función lineal
Las funciones lineales se representan con una línea recta en el plano cartesiano. Es importante tener en cuenta que lo que hacen las funciones, en definitiva, es expresar una relación entre variables, pudiéndose desarrollar modelos matemáticos que representen este vínculo.
Al conjunto de partida o conjunto inicial se lo denomina dominio, mientras que al conjunto de llegada o conjunto final se lo llama codominio. Los elementos que representan las variables independientes forman parte del dominio; los valores representados por las variables dependientes, del conjunto imagen (contenido en el codominio). Cuando a los cambios iguales de una variable independiente le corresponden variaciones iguales de la variable dependiente, se habla de función lineal.
La economía y la física recurren con frecuencia a la función lineal.
Su uso en la geometría y el álgebra
El concepto de función lineal suele aparecer en el ámbito de la geometría analítica y el álgebra elemental. La primera es una rama de las matemáticas dedicada al estudio de las figuras geométricas mediante sistemas de coordenadas y expresiones algebraicas, lo que permite analizar propiedades como distancias, pendientes, intersecciones y áreas. En pocas palabras, podemos decir que se trata de una visión muy profunda de las figuras geométricas para conocer todos sus datos en detalle.
Por otro lado, el álgebra -que en su sentido más amplio incluye desde el álgebra elemental hasta el álgebra abstracta- es la rama de las matemáticas enfocada en las estructuras abstractas y en la combinación de sus elementos según determinadas reglas. Para la aritmética solamente tienen lugar las operaciones elementales entre los números, como la suma, la resta, la multiplicación y la división; el álgebra, en tanto, agrega los símbolos que denotan números y representan a las variables, con lo cual abre las puertas a un sinfín de posibilidades.
La función lineal es, en sí misma, una función polinómica: una relación que le asigna un valor único a cada instancia de la variable y que se compone de un polinomio (una suma o resta de una cantidad finita de términos). Un ejemplo de función polinómica es f(x) = ax + b, donde ax y b son los términos del polinomio.
Como se menciona líneas arriba, la función lineal siempre da líneas rectas en los ejes cartesianos; más precisamente, las rectas son oblicuas en las funciones polinómicas de primer grado, cuyo coeficiente a debe ser distinto de 0. Además existen otros grados como el 0, donde se ubica la función constante, que siempre produce rectas horizontales (paralelas al eje x); el 2, con la función cuadrática, que al graficarla genera parábolas; y el 3, al que pertenece la función cúbica, que se grafica en forma de curvas cúbicas.
Retomando la ecuación de función lineal f(x) = ax + b, podemos decir que a y b son constantes reales y x, una variable real. La constante a sirve para determinar la inclinación que tendrá la recta al ser graficada (su pendiente), mientras que b indica el punto en el cual se cortan la recta y el eje y.
El cálculo de los valores de una función lineal contribuye a obtener datos de importancia en distintos ámbitos.
Ejemplos de función lineal
y = x + 2 es un ejemplo de función lineal. Supongamos que en el dominio tenemos los valores 2, 5 y 7. Si la función señala que y es igual a x + 2, en el conjunto imagen encontraremos los valores 4, 7 y 9:
x + 2 = y
2 + 2 = 4
5 + 2 = 7
7 + 2 = 9
Al representar esta función lineal en un gráfico en coordenadas cartesianas, nos encontraremos con una línea recta creciente: a medida que crecen los valores de x, crecen proporcionalmente los valores de y.
Veamos un ejemplo de función lineal en un caso práctico. Pensemos en un servicio de taxi que cobra una tarifa inicial fija (la llamada bajada de bandera) y luego un monto que se corresponde a cada kilómetro que se recorre.
Si la bajada de bandera es de $100 y el valor del kilómetro recorrido es de $50, podemos considerar los siguientes datos:
Variable independiente (x): Los kilómetros recorridos
Variable dependiente (y): El precio total del viaje
Ecuación: y = 50x + 100
Suponiendo que una persona tiene que realizar tres viajes (de 5 km, 8 km y 15 km), se puede calcular el precio de cada recorrido:
Con x = 5
y = 50(5) + 100
y = 250 + 100
y = 350
Con x = 8
y = 50(8) + 100
y = 400 + 100
y = 500
Con x = 15
y = 50(15) + 100
y = 750 + 100
y = 850
Los viajes, por lo tanto, tendrán una tarifa de $350 (5 km), $500 (8 km) y $850 (15 km).
