Una serie infinita es una sucesión de elementos que carece de final.
Una serie es una sucesión de elementos que, ordenados, mantienen un cierto vínculo entre sí. La noción de infinito, por su parte, se vincula a aquello que carece de fin.
Una serie infinita, por lo tanto, es una seguidilla de unidades que no tiene final. El concepto opuesto es el de serie finita, que se caracteriza por finalizar en un determinado momento.
TemasEjemplos de series infinitas
Podemos comprender la noción de serie infinita si pensamos en ciertas series numéricas. Tomemos el caso de la serie numérica compuesta por los números múltiplos de 2. Dicha serie es una serie infinita ya que los números múltiplos de 2 son infinitos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…
Puede entenderse a las series como conjuntos. La serie numérica de números positivos impares menores a 10, en este sentido, es el conjunto que incluye los números 1, 3, 5, 7 y 9. Como se puede advertir, se trata de una serie finita. En cambio, si quisiéramos hacer referencia a la serie de números impares, será una serie infinita: un conjunto con componentes infinitos.
Dado que los números son infinitos, podemos enumerar todo tipo de series numéricas infinitas. Incluso es posible considerar series infinitas descendentes: por ejemplo, si mencionamos la serie compuesta por los números menores a 1: 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6…
El número irracional Pi está constituido por una serie infinita de dígitos.
Algunas de las más significativas
Además de todo lo expuesto, no podemos pasar por alto el hecho de que son muchos y diversos los tipos de series infinitas que existen. No obstante, entre los más significativas podemos destacar, por ejemplo, a los siguientes:
– Serie armónica.
– Serie geométrica. Bajo esta denominación se halla, por ejemplo, una serie de tipo infinito que se caracteriza por el hecho de que cada término se obtiene a partir de lo que es la multiplicación del término anterior por una constante determinada.
– Serie convergente. A la hora de poder determinar si una serie infinita es convergente o no, se puede recurrir al uso de variadas herramientas. En concreto, entre las más habituales están las p-series, que son sumatorias de funciones; el teorema de las series geométricas, el criterio de comparación directa, el criterio de comparación por paso del límite del cociente, el criterio de la integral de Cauchy, el criterio de d´Alembert y el criterio de Leibniz, entre otras muchas.
Reglas, fórmulas y algoritmos en las series infinitas
Lo habitual es que, en el ámbito de las matemáticas, las series infinitas surjan a partir de diferentes algoritmos, fórmulas o reglas. De este modo las series infinitas pueden servir para la representación de funciones.
Una de las figuras más importantes en materia de series infinitas fue y es el matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707 – 1783), que está considerado el matemático más importante del siglo XVIII. En el caso que nos ocupa hay que subrayar el hecho de que optó por acometer una exhaustiva investigación en materia del desarrollo del cálculo y eso fue lo que propició que estableciera la constante matemática como e, a la que procedió a representar no sólo como una fracción continua sino también como un número real o una serie infinita.
