El análisis dimensional trabaja con las dimensiones fundamentales de la física.
El análisis dimensional es un instrumento metodológico que se emplea para hallar relaciones entre magnitudes físicas. Uno de sus principales fundamentos es el teorema π de Buckingham.
Lo que hace el análisis dimensional es estudiar las unidades fundamentales de las magnitudes para comprender los vínculos que se establecen entre ellas. Así, permite comprobar si una ecuación es válida, diseñar un modelo a escala o corroborar fórmulas, por ejemplo.
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ResumenCaracterísticas del análisis dimensional
El análisis dimensional ayuda a entender cómo se vinculan las distintas magnitudes. La idea de dimensión alude, en este marco, a la naturaleza física de una cierta propiedad abstracta.
No es lo mismo una magnitud que una unidad (la medición de la magnitud). El Sistema Internacional de Unidades (SI) reconoce siete magnitudes fundamentales: es decir, que son independientes entre sí a nivel dimensional. Ellas son el tiempo, la masa, la longitud, la intensidad luminosa, la intensidad de corriente eléctrica, la cantidad de sustancia y la temperatura termodinámica.
En el caso de la física mecánica, se suele trabajar con el tiempo, la masa y la longitud. De las magnitudes fundamentales surgen las derivadas, como la fuerza, la aceleración y la velocidad.
Teniendo todo esto en cuenta, debe considerarse que el análisis dimensional se basa en el principio de homogeneidad dimensional, el cual establece que únicamente pueden restarse o sumarse magnitudes que cuentan con la misma dimensión. Esto implica que no se pueden sumar gramos con centímetros, por mencionar una posibilidad.
Dicho de otro modo, para que una ecuación física sea correcta, la totalidad de los términos que se restan o se suman a los dos lados del signo igual tienen que contar con la misma dimensión. Por otra parte, las sumas en el análisis dimensional no son acumulativas (si a una masa se le suma otra masa, el resultado sigue siendo masa y no masa al cuadrado).
Otra característica del análisis dimensional es que los números puros (que no están asociados a unidades de medida), las constantes matemáticas, las funciones trigonométricas y los ángulos carecen de dimensiones. Por lo tanto, en una ecuación se les asigna 1 como valor.
Los científicos suelen recurrir al análisis dimensional para crear modelos experimentales.
La importancia del teorema π de Buckingham
El análisis dimensional establece las reglas que ayudan al descubrimiento de nuevas fórmulas y a la simplificación de problemas de gran complejidad. Para llevar a cabo su finalidad, recurre al teorema π de Buckingham.
Este enunciado matemático debe su nombre al físico norteamericano Edgar Buckingham (1867–1940), aunque también se lo menciona como teorema π de Vaschy-Buckingham por el francés Aimé Vaschy (1857–1899), quien fue el primero en demostrarlo.
El teorema π sostiene que todas las leyes físicas son independientes de los sistemas de unidades. Asimismo, brinda un método que hace posible generar parámetros adimensionales.
Lo que expresa el teorema es que, cuando un fenómeno físico depende de una cantidad n de variables y en el cual intervienen m magnitudes fundamentales, el problema original puede simplificarse usando una cantidad menor de números adimensionales (que se conocen como números π).
Para calcular cuántos números adimensionales independientes se requieren, se le resta la cantidad de magnitudes fundamentales (3, en el caso de la física mecánica) a la cantidad total de variables: números π = n – m
En concreto, el teorema π de Buckingham ayuda a que se aplique el principio de homogeneidad dimensional, agrupando las variables para que las magnitudes fundamentales se cancelen entre sí. De esta manera, se puede trabajar con una ecuación cuyos términos son números puros (a los cuales, como ya indicamos, se les asigna el valor 1).
Gracias al teorema π de Buckingham, un científico que investiga un fenómeno en el cual intervienen 6 variables puede simplificar el estudio, reduciendo los parámetros independientes al agruparlos en números π. Por otro lado, ayuda a crear modelos a escala, haciendo que el modelo a escala sea dimensionalmente semejante al sistema real.
La aplicación del teorema π de Buckingham a las leyes físicas, por otra parte, posibilitó la obtención de números adimensionales de uso habitual en el campo científico. Entre ellos, el número de Froude, el número de Mach y el número de Reynolds.
El análisis dimensional permite determinar si las ecuaciones físicas son válidas.
Ejemplos de análisis dimensional
Supongamos que un repostero es famoso por su torta de chocolate. Está acostumbrado a elaborar una torta de 2 kilogramos; sin embargo, desde un club le piden que prepare una torta tres veces más grande para celebrar el aniversario de la institución.
Esto significa que el repostero tiene que triplicar las dimensiones lineales de siempre para lograr un producto tres veces más alto, tres veces más ancho y tres veces más profundo. Debe, por lo tanto, multiplicar por 3 esas medidas, pero eso repercute en el volumen: no se triplica, sino que es 27 veces más grande (3 x 3 x 3). En definitiva, tendrá que usar 27 veces más ingredientes y no el triple.
El análisis dimensional, pues, es clave para entender que, en este caso, al repostero no le alcanza con utilizar tres veces más de los ingredientes por más que la torta sea el triple que la habitual. Al modificar la longitud, el crecimiento del volumen y la masa se produce a ritmos muy distintos.
Pensemos ahora en la eventual existencia de una araña gigante. Si a un arácnido normal se lo pudiese hacer 10 veces más alto, su peso crecería muchísimo más, ya que depende del volumen corporal. El peso crecería 10 x 10 x 10: 1.000 veces. Las patas, en definitiva, nunca podrían soportar ese peso debido a que tendrían que ser muchísimo más gruesas. El análisis dimensional revela que el área y el volumen no reaccionan igual ante la modificación de la longitud.
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