El círculo trigonométrico permite calcular, definir y ver las funciones trigonométricas de un ángulo.
Las funciones trigonométricas son seno, coseno, tangente y las funciones relacionadas a ellas (cosecante, secante y cotangente). Son herramientas matemáticas necesarias para calcular y describir relaciones que involucran oscilaciones, ciclos y ángulos. Son indispensables en física, ingeniería, geometría, matemáticas y tecnología, teniendo protagonismo en casi todas las ciencias.
En la vida cotidiana, las funciones trigonométricas permiten medir distancias o alturas inaccesibles, trabajar con triangulación geométrica, establecer la pendiente apropiada para una escalera o rampa de acceso y representar todo fenómeno que se repita de modo periódico o cíclico (como las mareas en el océano, las estaciones del año y las vibraciones de las cuerdas de una guitarra).
El objetivo de este artículo es brindar datos claros y enriquecedores sobre las propiedades de las funciones trigonométricas, las características de las funciones trigonométricas inversas y las diferencias entre función, razón, identidad y ecuación trigonométrica.
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ResumenPropiedades de las funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas básicas son seno (sin o sen), coseno (cos) y tangente (tan/tg). Cada una de ellas tiene una función recíproca: cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot). Todas poseen propiedades que permiten graficarlas de manera precisa, comprender su comportamiento según las restricciones matemáticas y aplicarlas en problemas reales.
El dominio de una función trigonométrica se representa con la variable independiente x. Está definido en el seno y el coseno como el conjunto de todos los valores de entrada posibles y produce un número real. Es posible definir, sin excepción, el seno o el coseno de cualquier ángulo.
En la tangente, el dominio son todos los números reales con excepción de x= π/2 + k π (k es un número entero). En este marco, el coseno resulta anulado y no existe tangente.
La secante comparte el dominio con la tangente, mientras que la cosecante posee el mismo dominio que la cotangente. El dominio de la cotangente es igual a todos los reales excepto x = k π.
Otra propiedad de las funciones trigonométricas es su rango o recorrido. Los valores del rango de la función para seno y coseno son [-1,1] y para la tangente y cotangente, todo el conjunto de los números reales. El rango para secante y cosecante es igual a (−∞,−1]∪[1,+∞).
También es importante resaltar que las funciones trigonométricas son periódicas. Es decir, los valores se repiten con intervalos regulares, denominados periodos. El periodo 2 π es propio del seno, coseno, secante y cosecante. Tangente y cotangente poseen periodo π. Asimismo, en todo su dominio son continuas las funciones trigonométricas: en los valores donde están definidas no presentan discontinuidades ni saltos.
Respecto a la paridad, son funciones pares coseno y secante, mientras que seno, cosecante, tangente y cotangente son funciones impares. Tangente y secante, por otra parte, presentan asíntotas verticales en x= π/2 + k π, así como cotangente y cosecante muestran asíntotas verticales en x = k π.
Para calcular ángulos y lados desconocidos de un triángulo rectángulo se utilizan razones trigonométricas.
Diferencias entre función, razón, identidad y ecuación trigonométrica
Conocer las diferencias entre los conceptos de ecuación, identidad, razón y función trigonométrica ayuda a no tener dudas y a evitar malos entendidos en sus aplicaciones.
La razón trigonométrica, base fundamental de la trigonometría, es el cociente entre dos lados pertenecientes a un triángulo rectángulo. Únicamente se define para triángulos rectángulos con ángulos agudos (entre 0 y π/2 radianes y entre 0° y 90°).
La función trigonométrica se vincula a la razón trigonométrica, con la diferencia de que se extiende a cualquier número. Es decir, la función sirve también para ángulos que ya no se pueden representar en un triángulo rectángulo convencional.
La identidad trigonométrica es una igualdad que siempre resulta verdadera. Se cumple para todos los valores permitidos de x dentro del dominio válido. Es útil para demostrar otras igualdades o simplificar expresiones. La ecuación trigonométrica, en cambio, es una igualdad que se cumple solamente para determinados valores de x, llamados soluciones.
El centro de la circunferencia unitaria se ubica en donde nace el plano cartesiano y su radio mide 1.
Características de las funciones trigonométricas inversas
Las funciones trigonométricas inversas se desempeñan de manera opuesta a las funciones trigonométricas estándar (seno, coseno y tangente).
La inversa del seno es arcoseno; la del coseno, arcocoseno; arcotangente es la función inversa de la tangente y la inversa de la cosecante se llama arcocosecante. También existen las funciones trigonométricas inversas arcosecante (inversa de la secante) y arcocotangente (inversa de la cotangente).
Como existen infinitos ángulos que originan un mismo valor trigonométrico, las funciones inversas seleccionan, de todos los posibles dentro de su rango, un ángulo en concreto (conocido como valor principal).
Cuando se sabe la razón o relación entre los lados de un triángulo, la función trigonométrica inversa sirve para calcular un ángulo en base a un valor numérico. Para que pueda existir cada inversa, los dominios de las funciones trigonométricas originales son restringidos a un intervalo en el cual adquieran el carácter de inyectivas (y que cada valor, entonces, se alcance una vez sola). El rango de la función original restringida se transforma en el dominio de la inversa.
Además de la restricción de dominio de la función original que erradica las repeticiones ocasionadas por la periodicidad, hay que considerar que no en todos los casos se cancelan perfectamente. A modo de ejemplo de una excepción: arcsen (sen x) = x sólo si x está dentro del rango de arcsen. Por fuera del rango el resultado es otro ángulo que posee el mismo seno.
También suma saber que arcoseno (arcsen) y arcotangente (arctan) son funciones impares. Esto significa que son simétricas respecto al origen. El arcocoseno, en tanto, no es par ni impar porque su gráfica no presenta simetría respecto al eje y tampoco en relación al origen de las coordenadas.
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