El límite lateral es un tipo de límite de una función.
El límite de una función es un concepto que refiere a la descripción del valor al cual se aproxima una función cuando la variable independiente va acercándose a un punto concreto sin alcanzarlo. La expresión se utiliza en el cálculo diferencial matemático.
Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.
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ResumenAcerca del concepto
La noción de límite tiene múltiples acepciones. Emana del sustantivo latino limes, que puede traducirse como «frontera» o «borde». Puede tratarse de una línea que separa dos territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación. Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.
Función, en tanto, es un concepto que procede del latín functio y puede aludir a diversas cuestiones. En este caso, nos interesa la definición de función matemática: la relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B.
Retomando la idea de límite de una función, una función f con límite X en t quiere decir que dicha función tiende hacia su límite X cerca de t, con f(x) tan cerca de X como sea posible pero haciendo que x sea distinto de t. De todas maneras, la idea de cercanía es poco precisa, por lo que una definición formal requiere de más elementos.
Puede decirse que el límite de una función permite la descripción de aquel valor al cual una función se va acercando mientras la variable de entrada se aproxima a un determinado valor. Debe considerarse que es el valor al cual la función tiende al acercarse infinitamente, pero no el valor preciso de la función en dicho punto.
El límite de una función puede ser infinito positivo o infinito negativo.
Historia del límite de una función
Es importante indicar que los límites de las funciones ya se analizaban en el siglo XVII, aunque de una manera intuitiva. Sin embargo, la notación moderna recién surgió en el siglo XIX a partir del trabajo de diversos especialistas.
En este contexto, se dice que Karl Weierstrass (1815–1897) fue el primer matemático en proponer una técnica precisa. Este pensador alemán desarrolló sus postulados al respecto entre 1850 y 1860, luego de otros aportes valiosos realizados por Augustin-Louis Cauchy.
Teorema del emparedado
En el marco de la noción de límite de la función suele aludirse al teorema del emparedado, también conocido como teoría o teorema del sándwich.
Tiene su origen en tiempos del físico griego Arquímedes, que lo usó al igual que lo hiciera el matemático Eudoxo de Cnido (discípulo del filósofo Platón), en ambos casos vinculado al método de exhaución. No obstante, se considera que quien llevó este teorema al campo del límite de una función fue el mencionado Cauchy.
El teorema establece es que si dos funciones convergen a un mismo límite en lo que se refiere a un punto concreto, cualquier otra función que se establezca entre ambas también compartirá con ellas el mismo límite.
Dentro del ámbito del análisis matemático y del cálculo, y más exactamente en el área de las demostraciones, es donde se suele recurrir al uso de la teoría del sándwich, que también es llamada teorema del ladrón y los dos policías.
El límite de una función describe la aproximación a un valor mientras la variable independiente se acerca un determinado punto.
Cálculo del límite de una función
Debe considerarse que existen diferentes tipos de límites, que pueden calcularse desde la izquierda o desde la derecha. Puede tratarse de un límite finito en un punto (un número real), un límite infinito en un punto (negativo o positivo), un límite finito en el infinito (mientras x tiende a infinito, la función se aproxima a un valor finito) y un límite infinito en el infinito (x tiende a infinito mientras la función diverge a infinito).
Para llevar a cabo el cálculo del límite de una función, se puede recurrir a diferentes métodos. La racionalización, la factorización y la sustitución directa son algunos de ellos.
Si nos centramos en la racionalización, se emplea para la eliminación de las raíces en el denominador o en el numerador de la función. Requiere la multiplicación del denominador y el numerador por el conjugado de la expresión con la raíz.
La factorización, en tanto, implica factorizar el denominador y/o el numerador con el objetivo de lograr la simplificación de la expresión, eliminando de este modo una eventual indeterminación.
La técnica más simple, de todos modos, es la sustitución directa. Se evalúa la función en el mismo punto donde se realiza el cálculo del límite: así, se sustituye x por aquel valor al cual tiende. El método se usa si la función se encuentra definida en el punto y no genera una indeterminación; de lo contrario, se debe apelar a la factorización, la racionalización u otro procedimiento. Asimismo existen otros recursos, como las series de Taylor o la regla de l’Hôpital.
