Definición de función sobreyectiva

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En el ámbito de las matemáticas, se denomina función a la relación que se establece entre dos conjuntos a través de la cual, a cada uno de los elementos del primer conjunto, se le asigna un elemento –o ninguno– del segundo. Según sus características, existen diferentes tipos de funciones, como la función inyectiva, la función logarítmica, la función exponencial y la función cuadrática, entre muchas otras.

Descripción general

La función sobreyectiva implica que cada elemento del segundo conjunto es la imagen de, al menos, un elemento del primer conjunto. Esta función también se conoce como subyectiva, suryectiva, suprayectiva, epiyectiva o exhaustiva.

Función epiyectiva

En la función sobreyectiva, cada elemento del segundo conjunto se constituye como la imagen de uno o más elementos del primer conjunto.

Debemos tomar en cuenta algunos conceptos esenciales:

* dominio: es el conjunto que se suele asociar con la variable x, es decir, con el de «entrada». Nótese que este término hace referencia a «los valores que pueden entrar»;

* codominio: al otro lado del dominio, está el conjunto de salida, que en muchos casos (salvo en el caso de una función sobreyectiva) contiene muchos valores que no se usarán;

* imagen: los valores del codominio que realmente salen de una función.

Características de una función sobreyectiva

Puede decirse que, en una función sobreyectiva, cada elemento del segundo conjunto (al que podemos llamar Y) cuenta con, al menos, un elemento del primer conjunto (X) al que le corresponde.

En términos formales, la función sobreyectiva se escribe de este modo: f(x) = y. De esta manera, a cada y de Y le corresponde una o más x de X.

La función sobreyectiva supone que el recorrido de la función es el segundo conjunto (Y). Por eso se puede afirmar que en una función sobreyectiva el recorrido y el dominio (conjunto de partida o conjunto de definición) son iguales.

Función sencilla

Dicho todo esto, podemos afirmar que la función sobreyectiva se caracteriza, entre otras cosas, por ser de fácil comprensión y solución. Nos presenta un camino directo entre el conjunto de entrada y el de llegada, porque sabemos de antemano que este último estará salida únicamente por elementos que tengan al menos un vínculo con otro del primero.

Si bien la complejidad de la ecuación en sí misma puede ser escasa o muy elevada, no se trata de una que pueda dejarnos atascados en un paso previo a la solución, sobre todo si la analizamos en el sentido contrario, desde el conjunto de salida hasta el de entrada. Las matemáticas se presentan como una ciencia exacta, pero en sus profundidades aún hay rincones sombríos, que no ofrecen una respuesta definida a toda pregunta.

Tomemos un caso en el cual el conjunto de llegada, el codominio, contiene valores que no se relacionan con ninguno del dominio. Esto ocurriría, por ejemplo, si la función planteara la multiplicación por 2 de los valores asignados a la variable X, exigiendo que solamente se tomaran del conjunto de los números naturales, es decir, dejando fuera los decimales.

Dado que el contradominio incluiría todos los naturales y que no existe ningún número impar que resulte de la multiplicación por 2 de otro natural, todos ellos quedarían fuera de la imagen, aunque continuasen perteneciendo al contradominio. En una función sobreyectiva, en cambio, no existen reglas como la mencionada anteriormente que dejen fuera ciertos elementos del conjunto de salida.

Función exhaustiva

La fórmula de una función sobreyectiva es la siguiente: f(x) = y

Un ejemplo

Veamos un ejemplo concreto para comprender a qué alude la noción. Tomemos la función X → Y definida por f (x) = 4x.

El conjunto X se compone de los elementos {2, 4, 6}. El conjunto Y, de acuerdo a la función, es {8, 16, 24} ya que

f (2) = 8

f (4) = 16

f (6) = 24

Por lo tanto, f : {2, 4, 6} → {8, 16, 24} definida por f (x) = 4x resulta una función sobreyectiva.

Referencias

Autores: Julián Pérez Porto y Ana Gardey. Publicado: 2020. Actualizado: 2022.
Definicion.de: Definición de función sobreyectiva (https://definicion.de/funcion-sobreyectiva/)

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