El concepto de homotecia se emplea en el terreno de la geometría.
Homotecia es el vínculo que establecen dos figuras cuando sus puntos correspondientes se encuentran alineados en un punto fijo. Se trata, por lo tanto, de una correspondencia entre figuras geométricas.
TemasPuntos homotéticos
Los llamados puntos homotéticos son los puntos transformados mediante la multiplicación de los puntos originales por el factor común. La homotecia implica partir de un punto fijo conocido como centro o punto O.
Para obtener los puntos homotéticos, las distancias se multiplican por un factor común: de este modo, a cada punto P, le corresponde un punto P’ («P prima»), ambos alineados con el punto O. Los puntos homotéticos están alineados con el punto O y con segmentos que son paralelos entre sí.
Es importante señalar que el conjunto de números al que pertenezca el plano sobre el cual realizamos una homotecia será determinante de los tipos de valores que tendrán sus puntos. Por ejemplo, al realizar una homotecia en el plano real, los números involucrados pertenecerán a este conjunto, de manera que incluirán los racionales y los irracionales, entre menos infinito y más infinito. Como dato curioso, agregamos que las circunferencias de un mismo plano siempre son homotéticas entre sí.
Utilidad de la homotecia
Gracias a la homotecia es posible generar una figura a partir de otra semejante, pero no congruente. La relación supone que la figura obtenida es de menor o de mayor tamaño que la original.
Es útil para la proyección de una figura en muchas otras que sean afines, con la posibilidad de alterar su tamaño (ya sea incrementarlo o reducirlo) y también su orientación, todo esto sin que se vean afectadas la razón de sus lados ni el valor de sus ángulos. Para dichas operaciones de escalamiento, se toma como referencia un factor de conversión.
Homología
La homología es una transformación proyectiva que nos da como resultado una figura a partir de otra, con una correspondencia entre los puntos de ambas. La homotecia es un tipo de homología, y se considera un caso especial de esta.
Los cuatro requisitos para que se cumpla la homología son los siguientes:
- cada punto y su respectiva imagen (los que llamamos con la misma letra más la palabra «prima») deben estar alineados con un tercero, el que denominamos centro de la homología y que más arriba representamos con la letra O. Este último no varía cuando se lo intenta transformar;
- cualquier recta que sea proyectada tendrá como imagen una nueva recta;
- las rectas y sus respectivas imágenes siempre se encuentran en un punto por el que pasa el denominado eje de homología, que se representa con la letra e. Los puntos que se encuentran sobre ésta tampoco varían al aplicarles transformaciones. Este punto también se conoce como punto doble;
- si dos rectas se cortan en un punto, sus imágenes también lo harán, aunque la intersección tendrá lugar en la imagen de dicho punto.
La homotecia permite la proyección y transformación de figuras en el plano.
Clasificación según el tipo
Existen distintos tipos de homotecia. La homotecia directa se produce cuando la constante es mayor que 0, de manera tal que todos los puntos homotéticos se hallan en el mismo lado en comparación al centro. La homotecia inversa, en cambio, supone que la constante es menor que 0; en este caso, los puntos se disponen en extremos opuestos respecto al punto O.
Entre las propiedades de la homotecia, cabe destacar que el centro es el único punto doble (no varía). Las rectas que pasan por el centro son dobles, aunque los puntos que la forman no lo son, mientras que las rectas que no pasan por el punto O se convierten en rectas paralelas.
