Con los números naturales se pueden crear conjuntos infinitos.
Los números naturales son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se trata del primer conjunto de números que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos. Uno (1), dos (2), cinco (5) y nueve (9), por ejemplo, son números naturales.
Con origen en el latín numĕrus, el concepto de números se emplea en las matemáticas para hacer referencia a los signos o conjunto de signos que sirven para expresar una cantidad con relación a su unidad. Existen distintos grupos de números, como los números enteros, los números reales y otros.
Existe una controversia respecto a considerar al cero (0) como un número natural. Por lo general, la Teoría de Conjuntos incluye al cero dentro de este grupo, mientras que la Teoría de Números prefiere excluirlo.
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ResumenEjemplos de números naturales
Los números naturales son infinitos, con lo cual los ejemplos de ellos también lo son. 3, 25, 698, 3450, 187790 y 826898123 son apenas algunos ejemplos de números naturales.
Un número par, un número impar o un número primo pueden ser números naturales. Los números negativos, en cambio, no lo son, ya que no hacen posible la cuenta de los elementos de un conjunto.
Podría decirse, como ya indicamos, que los números naturales tienen dos grandes usos: se utilizan para especificar el tamaño de conjuntos finitos y para describir qué posición ocupa un elemento dentro de una secuencia ordenada.
No obstante, además de esas dos grandes funciones citadas, con los números naturales también podemos llevar a cabo tanto la identificación como la diferenciación de los diversos elementos que forman parte de un mismo grupo o conjunto. Así, por ejemplo, dentro de un club de fútbol cada socio cuenta con un número que le distingue del resto. Como muestra de ello servirían la frases siguientes: “Manuel es el socio número 3.250 del Fútbol Club Barcelona”, “Mi abuelo Ricardo fue el socio número 4 del club de mi barrio”.
Una tienda de indumentaria, asimismo, puede numerar sus artículos a fin de organizar su stock y de facilitar sus operaciones. De esta manera, identifica a un pantalón color azul como el artículo 104 y a una camiseta de algodón blanca como el producto 278, por ejemplo, apelando a distintos números naturales.
Es posible ordenar las cifras de los números naturales en una línea numérica sin final.
Principales características
Además de lo expuesto no podemos pasar por alto el hecho de que los números naturales están ordenados. De esta forma, gracias a dicho orden se pueden comparar los números entre sí. Así, por ejemplo, podríamos subrayar en ese sentido que el 8 es mayor que el 3 o que el 1 es menor que el 6.
Del mismo modo, otra de las cualidades que diferencian a los números naturales es que son ilimitados, como señalamos líneas arriba. Eso significa que siempre que se le sume 1 a uno de ellos nos dará lugar a otro número natural diferente.
Por todo ello, estos números se pueden representar en una línea recta, siempre de menor a mayor. Así, una vez que señalemos en la línea el 0, procederemos a establecer el resto de número (1, 2, 3…) a la derecha de aquel.
Un número irracional no forma parte de los números naturales.
Otras particularidades de los números naturales
Los números naturales pertenecen al conjunto de los números enteros positivos: no tienen decimales, no son fraccionarios y se encuentran a la derecha del cero en la recta real. Son infinitos, ya que incluyen a todos los elementos de una sucesión (1, 2, 3, 4, 5…), pero por lo dicho no incluyen a ningún número decimal ni a una fracción.
Por sus características, los números naturales constituyen un conjunto cerrado para las operaciones de suma y multiplicación ya que, al operar con cualquiera de sus elementos, el resultado siempre será un número natural: 5+4=9, 8×4=32. No ocurre lo mismo, en cambio, con la resta (5-12= -7) o con la división (4/3=1,33).
Supongamos que un niño tiene una bolsa con cinco caramelos. Puede decirse que la bolsa supone un conjunto con 5 elementos. No es posible restarle 8 a ese conjunto (el resultado sería un número negativo: no hay forma de contabilizar negativamente esos caramelos) ni dividir sus componentes por 6 (se obtendría un número decimal, lo que implicaría que los caramelos no seguirían existiendo enteros como tales). En cambio, si se pueden agregar (sumar) caramelos a la bolsa o eventualmente multiplicar su cantidad, también incorporando más.
Los axiomas de Peano
Se conoce como axiomas de Peano a una serie de postulados desarrollados por el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) para la definición de los números naturales. Cada axioma de Peano define una característica o propiedad de estos números.
Los cinco axiomas de Peano son los siguientes:
- El 1 es un número natural.
- Cada número natural tiene un número sucesor.
- El 1 tiene la particularidad de no ser sucesor de otro número natural (esta idea deja al 0 afuera de este conjunto).
- Si hay dos números naturales con el mismo sucesor, dichos números naturales son el mismo número.
- Cuando el 1 forma parte de un conjunto y dado cualquier número natural el sucesor también integra el conjunto, la totalidad de los números naturales pertenecen al conjunto en cuestión.
