La propiedad asociativa se aplica a la multiplicación y la suma.
Propiedad asociativa es un concepto que aparece en el contexto del álgebra y se aplica a dos tipos de operaciones: la suma y la multiplicación. Esta propiedad indica que, cuando existen tres o más cifras en estas operaciones, el resultado no depende de la manera en la que se agrupan los términos.
Esto quiere decir que, más allá de cómo se junten los diferentes números de la operación, la suma o la multiplicación ofrecerán el mismo resultado. El agrupamiento, por lo tanto, no tiene que ver con el resultado que se obtiene.
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ResumenLa propiedad asociativa en la suma
En el caso de la suma, la propiedad asociativa indica que la forma en que se juntan los sumandos no incide en el resultado de la operación. Veamos el funcionamiento de esta propiedad a través de una expresión algebraica y de un ejemplo:
(A + B) + C = A + (B + C)
Al reemplazar las letras por valores numéricos, podemos demostrar la igualdad que indica la propiedad asociativa. Si A = 8, B = 5 y C = 4:
(8 + 5) + 4 = 8 + (5 + 4)
13 + 4 = 8 + 9
17 = 17
La división y la resta no cumplen con la propiedad asociativa.
El caso de las multiplicaciones
Lo mismo ocurre con las multiplicaciones ya que, en este caso, el resultado no depende del agrupamiento de los factores. Si seguimos trabajando con los valores del ejemplo anterior:
(A x B) x C = A x (B x C)
(8 x 5) x 4 = 8 x (5 x 4)
40 x 4 = 8 x 20
160 = 160
Dado que la aplicación de la propiedad asociativa en la suma y la multiplicación no tiene ningún efecto aparente, pueden surgir dudas acerca de su utilidad. Hay que considerar que conocer estos principios sirve para dominar a fondo dichas operaciones, especialmente cuando se combinan con otras, como la resta y la división; más aún, en estas últimas dos no se cumple la asociatividad y es a través del contraste que podemos conseguir un correcto uso de las matemáticas.
La propiedad asociativa indica que el resultado de una operación no depende de cómo se agrupan los términos.
Resta y propiedad asociativa
Tomemos el caso de la resta, para comprender los límites de la propiedad asociativa. Si observamos, por ejemplo, la ecuación 4 – 2 – 6 = x y la resolvemos de manera intuitiva, realizando las operaciones de izquierda a derecha, el resultado que obtendremos es -4, ya que 4 menos 2 es 2, y 2 menos 6 es, efectivamente, -4. Pero, ¿qué ocurriría si intentáramos aplicar la propiedad asociativa tal como hicimos en los casos de la suma y la multiplicación? Como veremos a continuación, la realidad es muy diferente con la resta.
Si, en lugar de restar cada uno de los valores directamente, decidimos agruparlos de forma que debamos restarle a 4 el resultado de 2 menos 6, o sea 4 – (2 – 6) = x, la ecuación daría como resultado 8. ¿Cómo es posible que el hecho de colocar tan sólo dos paréntesis cambia de manera tan drástica el resultado? Veamos paso a paso el desarrollo de los cálculos: efectuamos la resta (2 – 6) y obtenemos -4, por lo cual el aspecto de la ecuación pasa a ser 4 – (-4); antes de proceder, es importante recordar que al eliminar el paréntesis debemos alterar el signo menos y reemplazarlo por un más, o sea que la ecuación final es 4 + 4, cuyo resultado es, en efecto, 8.
La división
Del mismo modo, si tomamos la ecuación 24 / 3 / 2 = x, el resultado que obtenemos si no alteramos su forma es 4, ya que 24 dividido 3 es 8, que dividido 2 nos da 4. Si, en cambio, decidimos poner a prueba la afinidad de la división con la propiedad asociativa, nos daremos cuenta rápidamente de que es nula. El resultado de 24 / (3 / 2) = x es 16, ya que 3 dividido 2 da 1,5, y 24 dividido 1,5 es 16.
Estas ecuaciones dejan en claro que la propiedad asociativa no puede aplicarse ni en la resta ni en la división. Si se lo hace, se altera el resultado.
Ejemplos de propiedad asociativa
Para completar el artículo, analizaremos distintos ejemplos de propiedad asociativa. Por supuesto, podrían reemplazarse estos números por otros de la misma naturaleza o condición y la lógica seguiría siendo la misma.
La multiplicación y la suma de los números reales son asociativas. De esta manera, es posible omitir las agrupaciones que se realizan utilizando los paréntesis. Por ejemplo, 2, 14 y 538 son números reales y por lo tanto se les puede aplicar la propiedad asociativa en multiplicaciones y sumas.
2 + 14 + 538 = 2 + (14 + 538)
16 + 538 = 2 + 552
554 = 554
—
2 x 14 x 538 = 2 x (14 x 538)
28 x 538 = 2 x 7532
15064 = 15064
Los números enteros negativos también forman parte de los números reales, con lo cual cumplen con la asociatividad:
-3 + (-25) + (-476) = -3 + [(-25) + (-476)]
-28 – 476 = -3 + (-501)
-504 = -504
—
-3 x -25 x -476 = -3 x (-25 x -476)
-75 x -476 = -3 x -11900
-35700 = -35700
Una cuestión importante a considerar es que aquellas expresiones que presentan operaciones asociativas y, a su vez, operaciones no asociativas brindan como resultado expresiones que no son asociativas.
Otro aspecto interesante a mencionar es que la suma y la multiplicación, además de ser asociativas, son conmutativas: es posible modificar el orden los operandos sin que cambie el resultado. Sin embargo, hay otras operaciones que son asociativas pero no siempre tienen conmutatividad: eso sucede con el producto de matrices y con la composición de funciones, por señalar dos ejemplos.
Por último, hay que subrayar que las categorías, los semigrupos y otras estructuras algebraicas necesitan de forma explícita que cada operación binaria sea asociativa.
