Un par ordenado refleja una relación matemática entre dos conjuntos.
Una relación matemática es la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto. Cabe destacar que la idea de relación refiere a un vínculo.
Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se habla de función. Esto quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a su vez, relaciones matemáticas, pero que las relaciones no siempre son funciones.
En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce como dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombre de codominio. La idea de imagen, rango o recorrido refiere al subconjunto del codominio formado por los elementos «alcanzados» por la relación en cuestión. Las relaciones matemáticas existentes entre ellos se pueden graficar en el esquema llamado plano cartesiano.
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ResumenEjemplos de relación matemática
Supongamos que el dominio se llama M y el rango, N. Una relación matemática de M en N será un subconjunto del producto cartesiano M x N. Las relaciones, en otras palabras, serán pares ordenados que vinculen elementos de M con elementos de N.
Si M = {5, 7} y N = {3, 6, 8}, el producto cartesiano de M x N serán los siguientes pares ordenados:
M x N = {(5, 3), (5, 6), (5, 8), (7, 3), (7, 6), (7, 8)}
Con este producto cartesiano, se pueden definir diferentes relaciones. La relación matemática del conjunto de pares cuyo segundo elemento es menor a 7 es R = {(5, 3), (5, 6), (7, 3), (7, 6)}
Otra relación matemática que puede definirse es aquella del conjunto de pares cuyo segundo elemento es par: R = {(5, 6), (5, 8), (7, 6), (7, 8)}
La representación gráfica de una relación matemática puede realizarse a través de un sistema de coordenadas cartesianas.
Aplicación del concepto
Las aplicaciones de las relaciones matemáticas trascienden los límites de la ciencia, ya que en nuestra vida cotidiana solemos hacer uso de sus principios, muchas veces de manera inconsciente. «Seres humanos», «edificios», «electrodomésticos», «películas» y «amigos», entre otros muchos, son algunos de los «conjuntos» más comunes de interés para nuestra especie y a diario establecemos relaciones entre ellos para organizarnos y participar de nuestras actividades.
De acuerdo con el número de conjuntos que participen del producto cartesiano, es posible reconocer diversos tipos de relación matemática.
Un diagrama de Venn permite graficar relaciones matemáticas, sobre todo operaciones entre conjuntos.
Tipos de relación matemática
Una relación unaria se da cuando se observa un solo conjunto, y la misma puede definirse como el subconjunto de los elementos que pertenecen al mismo y cumplen una condición determinada, expresada en la relación. Por ejemplo: dentro del conjunto de números naturales, podemos definir una relación unaria (a la cual llamaremos P) de los números pares. De esta manera, de todos los elementos de este conjunto, tomaremos aquellos que respondan a dicha condición y formaremos un subconjunto, el cual comienza de la siguiente manera: P = {2,4,6,8,…}
Por otro lado, una relación binaria es una relación matemática que parte de dos conjuntos y por lo tanto la complejidad aumenta considerablemente. Los elementos de ambos pueden relacionarse de más formas, y los subconjuntos resultantes se expresan como pares ordenados, tal como se demuestra en párrafos anteriores. En las matemáticas, esto suele estar de fondo en muchas de las funciones más comunes, que tienen como variables a y y a x, ya que se busca un par de valores (uno de cada eje) que permitan resolver una ecuación (que cumplan la condición).
Cuando definimos una condición que deben cumplir elementos de tres conjuntos diferentes, hablamos de relación ternaria, y el resultado es una o más ternas (el equivalente a los pares ordenados pero con tres elementos). Retomando el conjunto de números naturales, que nos permite hacer cálculos sencillos, un ejemplo de relación matemática de este tipo es aquella en la cual a – b = c, de manera que podríamos obtener un subconjunto que comienza así: R = {(3,2,1), (4,3,1), (5,3,2), …}
Otras clasificaciones aluden a cómo se combinan las propiedades de las relaciones. Una relación de equivalencia, por ejemplo, surge cuando hay una relación binaria P definida sobre un conjunto no vacío W y se cumplen las propiedades de transitividad (si un elemento de W se vincula con otro y ese lo hace con un tercero, el primero también estará vinculado con este último); simetría (si un elemento de W se vincula con otro, el segundo elemento también se vincula con el primero) y reflexividad (todos los elementos se W se vinculan consigo mismos). Dicha relación, por lo tanto, es transitiva, simétrica y reflexiva.
Una relación de orden, en tanto, se da cuando una relación binaria P se define en un conjunto no vacío W y es transitiva, reflexiva y, a diferencia de lo que sucede en la relación de equivalencia, antisimétrica (si dos elementos de W se vinculan entre sí, resultan iguales).
Las operaciones
Es importante tener en cuenta que se pueden realizar diversas operaciones con los conjuntos que protagonizan las relaciones matemáticas.
La intersección, la unión, la inversión, la composición, la restricción y el complemento son algunas de estas operaciones, que vinculan de distintas maneras a los conjuntos involucrados en una relación.
Tomemos el caso de la intersección. Si P y T son relaciones matemáticas sobre W, entonces P ∩ T= {(x, y) | xPy y xTy} es la intersección de P y T. Un ejemplo sería «es un número par mayor que 5», que es la intersección de «es un número mayor que 5» y «pertenece al conjunto de los números pares».
