Olivino, una serie isomorfa de forsterita y fayalita
La noción de isomorfismo se utiliza en el ámbito de la geología y en el campo de las matemáticas. En el primer caso, el término refiere a la propiedad de aquello que es isomorfo.
TemasMisma estructura cristalina
Dos cuerpos son isomorfos cuando, pese a contar con distintas composiciones químicas, disponen de la misma estructura cristalina y están en condiciones de asociarse para cristalizar. Este fenómeno recibe el nombre de isomorfismo.
A grandes rasgos, puede decirse que el isomorfismo supone que dos sustancias diferentes pueden desarrollar en conjunto una única red cristalina. Al grupo de las mezclas posibles se lo denomina serie isomorfa: en ellas, se puede reemplazar un elemento con otro de tamaño similar sin que haya alteraciones en la estructura cristalina.
Si las cargas que presentan los átomos intercambiados no son iguales, se habla de isomorfismo heterovalente y se requiere de un mecanismo de sustitución para la compensación. En cambio, si ambos átomos cuentan con igual carga, el isomorfismo es isovalente.
Lo opuesto al isomorfismo es el polimorfismo. Mientras que los minerales isomorfos tienen distinta composición química y cristalizan igual, con los minerales polimorfos ocurre lo inverso.
Correspondencia biunívoca
Para las matemáticas, por otra parte, el isomorfismo es la correspondencia biunívoca que se registra entre dos estructuras algebraicas, manteniendo las operaciones. De este modo, si hay isomorfismo, el estudio de una estructura puede reducirse al de la otra.
Se registra isomorfismo entre dos estructuras, en definitiva, si a cada elemento de una le corresponde solamente un elemento de la otra y lo mismo ocurre con cada operación, también recíprocamente. Debemos agregar que el isomorfismo matemático es un morfismo, o sea que se trata de una aplicación que no altera la estructura interna; más precisamente, es un homomorfismo, porque ambos objetos tienen igual estructura algebraica. Entonces, dada la definición de isomorfismo, este morfismo es de un tipo específico que da lugar a un inverso.
Continuando con esta idea, también es posible definir este concepto como un homomorfismo biyectivo, ya que su función inversa también cae en la categoría del homomorfismo. El término «biyectivo» hace referencia a la ya mencionada correspondencia de elementos diferentes en los conjuntos de salida y llegada en ambas direcciones. Si dos conjuntos ordenados presentan isomorfismo, entonces se deben considerar isomorfos y reconocer como conjuntos similares entre sí. En el caso especial de que ambos sean iguales, entonces se debe hablar de automorfismo.
Antes de continuar hablaremos de los conjuntos de orden: son aquellos en los cuales sus elementos están relacionados entre sí por diferentes operaciones, como ser la multiplicación, y entre los cuales es posible reconocer un mínimo (del que parten los demás) y varios maximales (los máximos de cada rama de orden). Un conjunto completamente ordenado, en cambio, es el que relaciona todos sus elementos, tal que existe un solo mínimo y un solo máximo. En uno de ellos la única posibilidad de automorfismo es la función identidad, o sea la que nos da como resultado su propio argumento: la función identidad para x = 4 es 4, y así sucesivamente.
El isomorfismo es un homomorfismo biyectivo.
Relación de equivalencia
En álgebra y teoría de conjuntos, una relación de equivalencia es aquélla que nos da la posibilidad de relacionar los elementos de un conjunto apoyándonos en una propiedad o característica dadas. El isomorfismo también da lugar a esta descripción por las siguientes dos razones:
* es reflexiva: los grupos son isomorfos a sí mismos por medio de la función identidad, como mencionamos más arriba. Además de tratarse de un caso de homomorfismo y biyección;
* es simétrica: esto se cumple porque si los conjuntos A y B son isomorfos, es correcto describir tal relación en ambos sentidos.
