Definición de producto cartesiano

Antes de entrar de lleno en el establecimiento del significado producto cartesiano, se hace necesario que procedamos a determinar el origen etimológico de las dos palabras que le dan forma:
-Producto deriva del latín, de “productus”, que es equivalente a “producido” y que es fruto de la suma del prefijo “pro-”, sinónimo de “hacia delante”, y el adjetivo “ductus”, que puede traducirse como “guiado”.
-Cartesiano, por su parte, de “Cartesius” que era el nombre en latín del filósofo francés René Descartes, que fue el que dio forma al cartesianismo o dualismo cartesiano. Esta doctrina o ideario venía a establecer, entre otras muchas cosas más, que el ser humano estaba compuesto de dos sustancias: la extensa y la pensante.

Producto cartesiano

La noción de producto cartesiano se emplea en el ámbito de la matemática, más precisamente en el campo del álgebra. El producto cartesiano revela una relación de orden entre dos conjuntos, constituyéndose como un tercer conjunto.

El producto cartesiano de un conjunto A y de un conjunto B es el conjunto constituido por la totalidad de los pares ordenados que tienen un primer componente en A y un segundo componente en B.

Veamos un ejemplo. Si el conjunto A está formado por los elementos 3, 5, 7 y 9, mientras que el conjunto B alberga los elementos m y r, el producto cartesiano de ambos conjuntos es el siguiente:

A x B = {(3,m), (3,r), (5, m), (5,r), (7,m), (7,r), (9,r), (9,r)}

El producto cartesiano, por lo tanto, está formado por todos los pares ordenados que se pueden formar a partir de dos ciertos conjuntos. Cada par ordenado se constituye por dos elementos: el primer elemento pertenece a un conjunto y el segundo elemento, al otro. Si seguimos con nuestro ejemplo, en el par ordenado (3,m), 3 es el primer elemento (corresponde al conjunto A) y m es el segundo elemento (perteneciente al conjunto B).

Es importante establecer, además de todo lo expuesto, que cuando hablamos de productos cartesianos tenemos que hacer referencia a dos casos o tipos de generalizaciones posibles. Así, por un lado, se encuentra el llamado caso finito, que es aquel que parte de un número finito de conjuntos (A1, A2, A3…An). Del mismo su producto cartesiano vendría a ser el grupo de listas numeradas cuyo elemento está en A1, el segundo en A2…

El caso infinito sería aquel en el que, partiendo de una gran familia de conjuntos con toda la probabilidad infinita y de carácter arbitrario, a la hora de definir el pertinente producto cartesiano se sustituiría lo que es la definición de las mencionadas listas numeradas por otra.

Supongamos que, en una casa, hay tres personas (Carlos, Juan y Antonia) y dos libros (Rayuela y Cien años de soledad). El producto cartesiano de ambos conjuntos (personas y libros) estará formado por todos los repartos posibles de las obras literarias entre los individuos.

P x L = {(Carlos, Rayuela), (Carlos, Cien años de soledad), (Juan, Rayuela), (Juan, Cien años de soledad), (Antonia, Rayuela), (Antonia, Cien años de soledad)}

Dicha información puede resultar útil para crear un organigrama que especifique cómo se distribuirán los dos libros para que todos tengan la oportunidad de leerlos en algún momento.

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Referencias

Autores: Julián Pérez Porto y María Merino. Publicado: 2013. Actualizado: 2015.
Definicion.de: Definición de producto cartesiano (https://definicion.de/producto-cartesiano/)
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