La antiderivada es una clase de función matemática.
Una antiderivada es una función matemática que se obtiene del proceso opuesto a la derivación. Para comprender a qué se refiere la noción, por lo tanto, primero hay que tener en claro qué es una función en el terreno de las matemáticas y en qué consiste la derivación.
TemasFunción y derivada
Una función es una relación que se establece entre dos conjuntos, la cual le asigna a cada uno de los elementos del primer conjunto un elemento que forma parte del segundo conjunto o ninguno. Se llama conjunto, a su vez, al grupo formado por todos los entes matemáticos que disponen de una misma propiedad.
La derivada de una función, por otra parte, es la razón de cambio con la que se modifica el valor de la función a partir de una alteración del valor que tiene su variable independiente. La derivación indica la razón a la que cambia la función a partir de los cambios de la variable independiente.
Concepto de antiderivada
Retomemos ahora la idea de antiderivada. Se denomina antiderivada de una función f(x) a la función F(x)+C, donde C se constituye como una constante.
De este modo, al derivar F(x)+C, obtenemos f(x). Por eso la función F(x) es antiderivada de la función f(x).
En palabras más sencillas, podemos decir que se trata de la relación inversa que hay en una derivada. Si tomamos un ejemplo muy simple, la expresión x2 (x elevada al cuadrado o a la segunda potencia), sabemos que su derivada es 2x (2 elevado a la potencia de x). Ahora bien, para obtener la antiderivada tenemos que recorrer el camino contrario: la antiderivada de 2x es, en efecto, x2.
El proceso de integración
El proceso que se lleva a cabo para descubrir las antiderivadas (también conocidas como primitivas) recibe el nombre de integración. Por otro lado, las integrales indefinidas componen la familia de funciones obtenidas a través de este proceso.
Cabe destacar que, cuando una función f permite una antiderivada sobre un intervalo, admite una infinidad con una diferencia constante entre sí.
Función continua
Este concepto es fundamental para comprender el de antiderivada, ya que para que una función dada admita una antiderivada sobre un intervalo basta con que sea de tipo continuo. Una función continua, por lo tanto, es aquella en la cual una variación continua en su argumento acarrea una variación continua del valor de la función.
Aquí estamos ante un nuevo concepto que es necesario explicar para comprender la definición: el argumento de una función. Se trata de un valor que se provee para obtener el resultado de la misma. Otro nombre por el que se conoce es variable independiente, el cual se menciona en un párrafo anterior. Cuando hablamos de una «variación continua» nos referimos a un cambio sin saltos abruptos (o discontinuidad) en el valor.
Dicho de otra manera, una función se considera continua si basta con realizar pequeños cambios en su argumento para obtener pequeños cambios arbitrarios en su valor.
Existen distintos tipos de funciones matemáticas.
Propiedades de la antiderivada
Comencemos por la linealidad: la antiderivada es lineal. Esto significa que si una función f admite una antiderivada F sobre un intervalo I, para cualquier número real k, una antiderivada de kf sobre el mismo intervalo tiene que ser kF.
Otra propiedad de la antiderivada es que si la aplicamos sobre una función impar, el resultado siempre es par. También podemos afirmar que para obtener la antiderivada de una función periódica (una cuyos valores se repitan en intervalos regulares) se deben sumar una lineal (función que tiene una sola variable y que en el plano cartesiano se representa como una línea recta) y una periódica.
