La matemática financiera suele recurrir a las funciones exponenciales.
Una función exponencial es una función matemática que se representa con la ecuación f(x) = aˣ, en la cual la variable independiente (x) es un exponente. Se trata de una herramienta que permite aludir a fenómenos que crecen o decrecen en proporción a la cantidad existente.
Para comprender el significado del concepto con precisión, es importante conocer el origen etimológico de las dos palabras que le dan forma:
- Función deriva del latín functio, que puede traducirse como “ejercicio”. Asimismo, esa palabra procede del verbo fungi, que alude a “cumplir” o “desempeñar una labor”.
- Exponencial, en tanto, también deriva de la lengua latina. Se forma con los componentes ex- (“hacia afuera”), ponere (“poner”), -nt- (vinculado a un agente) y -al (“relativo a”).
Cabe resaltar que, en el ámbito de las matemáticas, una función es un vínculo entre dos conjuntos mediante el cual a cada uno de los elementos del primer conjunto le es asignado exactamente un único elemento del segundo conjunto.
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ResumenCaracterísticas de la función exponencial
En las funciones exponenciales, el conjunto de los números reales constituye su dominio de definición. El rango o recorrido está constituido por los números reales positivos, mientras que la base a debe ser un número real positivo distinto de 1.
Es importante considerar que la función exponencial no adquiere valores negativos ni atraviesa el eje x. La propia función, por otra parte, es su derivada cuando la base es el número e (número de Euler, una constante matemática que debe su nombre a Leonhard Euler).
Se trata de una función continua y derivable en la totalidad de su dominio. Es creciente cuando a > 1 y decreciente si 0 < a < 1.
Su comportamiento gráfico, por lo tanto, depende del valor de la base a. Cuando a es mayor que 1, crece en todo su dominio; a medida que x crece, los valores de f(x) aumentan con rapidez. Si a es mayor que 0 y menor que 1, resulta decreciente y el aumento de x va haciendo que los valores de f(x) se acerquen progresivamente a 0.
Una función exponencial puede contribuir a la comparación de tasas de crecimiento.
Su clasificación
Las funciones exponenciales suelen clasificarse de acuerdo con el valor de la base a. Como ya vimos, una función creciente implica que a > 1, mientras que una función decreciente supone que 0 < a < 1.
Cabe destacar que, entre las funciones crecientes, existe el caso particular de la función exponencial de base e (cuya derivada es la propia función). Asimismo, se habla de función exponencial transformada cuando la función original es modificada mediante transformaciones de su gráfica.
Por otro lado, una función exponencial f(x) = aˣ con a > 0 y diferente de 1 es una función inyectiva debido a que no existen dos valores diferentes de x que produzcan el mismo resultado. Su dominio es el conjunto de los números reales. Cuando su codominio es el conjunto de los números reales positivos, resulta también una función biyectiva.
El modelo de Malthus recurre a la función exponencial para explicar el crecimiento poblacional.
Ejemplos de función exponencial
Las funciones exponenciales pueden utilizarse en una gran variedad de ámbitos para llevar a cabo numerosos cálculos. Suelen emplearse a la hora de analizar el crecimiento poblacional, al trabajar con el interés compuesto en el campo financiero y en el estudio de la desintegración radiactiva, por mencionar algunas posibilidades.
Tomemos el caso del desarrollo de una población bacteriana: una cierta especie de bacteria cuya publicación se triplica cada hora. Esto quiere decir que, cada x horas, habrá 3ˣ bacterias.
La función exponencial indica que, partiendo de una bacteria:
Después de una hora: f(1) = 3¹ = 3 (habrá tres bacterias)
Después de dos horas: f(2) = 3² = 9 (habrá nueve bacterias)
Después de tres horas: f(3) = 3³ = 27 (habrá veintisiete bacterias)
Y así sucesivamente.
Retomando la ecuación f(x) = aˣ, hay que tener en cuenta que a es la base, mientras que x es el exponente. En el caso del ejemplo de las bacterias que se triplican cada hora, la base es 3, mientras que el exponente es la variable independiente que va cambiando con el paso del tiempo. De este modo, se obtienen conocimientos importantes acerca de la reproducción bacteriana y se contribuye al análisis de modelos simplificados de propagación de epidemias.
La función exponencial también se emplea para el estudio de sismos. Debe considerarse, en este contexto, que existe una relación matemática entre la magnitud de los terremotos y la energía que liberan.
Así, los científicos determinaron que por cada unidad que aumenta la magnitud de un sismo, la energía que libera se multiplica por un factor constante. Esta relación se expresa a través de una función exponencial de base 10.
De este modo, si tomamos el ejemplo de un terremoto de 6 puntos en la escala de Richter, la fórmula permite saber que el movimiento telúrico libera 6,31 x 10¹³ julios de energía. A su vez, hace posible el cálculo de cuántas veces más energía libera un sismo respecto a otro, evidenciando la relación exponencial. Los cálculos muestran que un terremoto con una magnitud 6 libera 31,6 veces más energía que un sismo que alcanza una magnitud 5 en la escala de Richter.
