La noción de preimagen se emplea en la teoría de los conjuntos.
La noción de preimagen se emplea en el terreno de las matemáticas, específicamente en el marco de la teoría de los conjuntos. Antes de avanzar con la definición del término, es conveniente aclarar varios conceptos.
Los conjuntos, en este marco, son agrupaciones abstractas de elementos, como funciones, números, letras, etc. A la relación que permite asignar a cada elemento de un primer conjunto un elemento de un segundo conjunto, o ninguno, se la denomina función.
Las funciones, por lo tanto, son vínculos entre los elementos de dos conjuntos: el conjunto de partida (también llamado dominio) y el conjunto de llegada (denominado codominio).
TemasConcepto de preimagen
Con estas cuestiones en claro, podemos definir qué es una preimagen. Así se denomina a cada elemento que forma parte del conjunto de partida. A los elementos del conjunto de llegada, por su parte, se los menciona como imágenes.
Las preimágenes, en definitiva, son los elementos del dominio. Una función matemática asigna a cada preimagen una imagen, o ninguna. Se trata de una correspondencia que relaciona a los elementos de dos conjuntos no vacíos.
Un ejemplo
Tomemos el caso de un conjunto de partida formado por los elementos “Buenos Aires”, “Montevideo” y “Caracas”, y de un conjunto de llegada que presenta los elementos “Argentina”, “Uruguay” y “Venezuela”. Ambos conjuntos están vinculados por la función “es la capital de”, que establece las siguientes relaciones: “Buenos Aires” -> “Argentina”; “Montevideo” -> “Uruguay”; y “Caracas” -> “Venezuela”.
Como se puede apreciar, “Buenos Aires”, “Montevideo” y “Caracas” son las preimágenes, mientras que “Argentina”, “Uruguay” y “Venezuela” son las imágenes.
Si tomamos un conjunto de partida compuesto por “Buenos Aires”, “Montevideo” y “Caracas”, y un conjunto de llegada con “Argentina”, “Uruguay” y “Venezuela”, ambos relacionados por la función “es la capital de”, podemos afirmar que “Buenos Aires” es una preimagen.
El rango y las preimágenes
En este contexto se habla del concepto de rango (que también se conoce con los nombres de ámbito y recorrido) para hacer referencia al conjunto de las imágenes de una función determinada. Se trata, dicho de otra manera, de un subconjunto del codominio. Es posible representar el rango como f R o f A.
La importancia del rango es muy grande ya que se trata de los valores posibles para cada una de las preimágenes del dominio. Conocer esta lista potencial nos puede ahorrar mucho tiempo y trabajo, tanto en investigaciones en papel como computarizadas, porque nos permite dejar fuera una cantidad de elementos del conjunto de llegada que jamás podrían ser imágenes de la función.
La aplicación del recorrido o ámbito
Si volvemos al ejemplo de las capitales de los países, podemos explicar de forma clara y concisa una de las utilidades de combinar los conceptos de rango y preimagen. Dado que el conjunto de partida tiene los nombres de las capitales y que la función pretende relacionarlas con sus respectivos países, cualquier elemento del conjunto de llegada que no cumpla este requisito está fuera del rango.
En este caso particular no existen tantas restricciones posibles como en relaciones entre números, pero de todos modos podríamos establecer ciertas condiciones para restringir los resultados. Por ejemplo, la función podría exigir que los países pertenecieran únicamente a un determinado continente si ya conociera esa propiedad de las capitales, para ahorrar un trabajo de búsqueda inútil en el resto. Si en el conjunto países se encontraran todos los del mundo pero supiéramos con certeza que las preimágenes se ubican en América, entonces podríamos dejar fuera Asia, Europa, Oceanía, Antártida y África.
Todo esto nos demuestra que la preimagen tiene un carácter tal que determina las potenciales imágenes, lo sepa o no la persona que intenta resolver la ecuación dada. No debemos olvidar que el conocimiento o no de un resultado es algo circunstancial, una porción de la realidad; aunque nadie haya aplicado una determinada función a un problema, los valores resultantes existen desde siempre (1 + 1 siempre ha sido 2, incluso antes de que alguien se planteara esta cuenta y la resolviera).
